17 авг 2018 
TERRA9INCOGNITA 
Классика .
Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.
«Классическим» такой мяч был не всегда:
впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике .
Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров.
Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника.
В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года .
С точки зрения математики классический футбольный мяч является усеченным икосаэдром.
Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание».
У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 ребер.
Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками.
Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е. многогранные углы при вершинах равны.
Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр.
Современность.
Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки.
Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.
Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании.
Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю.
У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.
А вот у сферы гауссова кривизна положительна.
Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно.
И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.
Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать».
А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая?
(Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)
После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.
Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая.
Но при этом Brazuca — это куб!
Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла.
У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.
Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность.
Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова:
сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.
В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин.
Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам.
Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам:
поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».
Но куда же делась кривизна?
Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть!
В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.
Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб.
В описанном смысле.
Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.
TERRA9INCOGNITA Классика .
Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.
«Классическим» такой мяч был не всегда:
впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике .
Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров.
Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника.
В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года .
С точки зрения математики классический футбольный мяч является усеченным икосаэдром.
Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание».
У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 ребер.
Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками.
Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е. многогранные углы при вершинах равны.
Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр.
Современность.
Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки.
Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.
Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании.
Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю.
У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.
А вот у сферы гауссова кривизна положительна.
Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно.
И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.
Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать».
А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая?
(Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)
После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.
Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая.
Но при этом Brazuca — это куб!
Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла.
У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.
Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность.
Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова:
сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.
В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин.
Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам.
Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам:
поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».
Но куда же делась кривизна?
Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть!
В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.
Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб.
В описанном смысле.
Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.
Канал: Философия
 |  |  |
Для добавления комментариев необходимо авторизоваться
Марс
После ошеломляющей новости о находке воды на Марсе...
